resumen de las derivadas

En las dos secciones anteriores hemos visto la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desgraciadamente, hasta ahora, las únicas herramientas de las que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas del área y los límites de las sumas de Riemann, y ambas aproximaciones son extremadamente engorrosas. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.

Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre la diferenciación y la integración. Esta relación fue descubierta y explorada por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo central que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.

Las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando hoy en día como material fundamental en física, y su cálculo ha dado lugar a campos enteros de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con clips multimedia.

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La diferenciación y la integración son ramas importantes del cálculo y la fórmula de diferenciación e integración son complementarias entre sí. Al integrar la derivada de una función, obtenemos como resultado la función original. En palabras sencillas, la integración es el proceso inverso a la diferenciación, por lo que la integral también se llama antiderivada. La diferenciación se utiliza para descomponer la función en partes, y la integración se utiliza para unir esas partes para formar la función original. Geométricamente la fórmula de diferenciación e integración se utiliza para encontrar la pendiente de una curva, y el área bajo la curva respectivamente.

Más adelante en este artículo, exploraremos las reglas de diferenciación e integración, las fórmulas y la diferencia entre ambas. También resolveremos algunos ejemplos basados en la diferenciación y la integración para una mejor comprensión del concepto.

La diferenciación y la integración son ramas del cálculo en las que determinamos la derivada y la integral de una función. La diferenciación es el proceso de encontrar la relación entre un pequeño cambio en una cantidad con un pequeño cambio en otra que depende de la primera cantidad. Por otro lado, el proceso de encontrar el área bajo la curva de una función se llama integración. Podemos encontrar la diferenciación e integración de una función en valores particulares y dentro de un rango particular de límites finitos. La integración de una función que se realiza dentro de un conjunto definido y finito de límites, entonces se llama integración definida.

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El cálculo, originalmente llamado cálculo infinitesimal o “el cálculo de los infinitesimales”, es el estudio matemático del cambio continuo, del mismo modo que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas.

Tiene dos ramas principales, el cálculo diferencial y el cálculo integral; el primero se ocupa de las tasas de cambio instantáneas y de las pendientes de las curvas, mientras que el cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y de las áreas bajo o entre curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo, y utilizan las nociones fundamentales de convergencia de secuencias infinitas y series infinitas a un límite bien definido[1].

El cálculo infinitesimal fue desarrollado de forma independiente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.[2][3] En la actualidad, el cálculo tiene un amplio uso en la ciencia, la ingeniería y la economía[4].

En la enseñanza de las matemáticas, el cálculo designa los cursos de análisis matemático elemental, dedicados principalmente al estudio de las funciones y los límites. La palabra cálculo (plural calculi) es una palabra latina, que significa originalmente “guijarro pequeño” (este significado se mantiene en medicina – véase Cálculo (medicina)). Dado que estos guijarros se utilizaban para contar (o medir) la distancia recorrida por los aparatos de transporte que se utilizaban en la antigua Roma,[5] el significado de la palabra ha evolucionado y hoy suele significar un método de cálculo. Por tanto, se utiliza para nombrar métodos específicos de cálculo y teorías relacionadas, como el cálculo proposicional, el cálculo de Ricci, el cálculo de variaciones, el cálculo lambda y el cálculo de procesos.

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El cálculo – diferenciación, integración, etc. – es más fácil de lo que crees. He aquí un ejemplo sencillo: el cubo de la derecha integra el flujo del grifo en el tiempo. El flujo es la derivada temporal del agua en el cubo. Las ideas básicas no son más difíciles que eso. El cálculo analiza cosas que cambian, y la física se ocupa mucho de los cambios. Para la física, necesitarás al menos algunos de los conceptos más simples e importantes del cálculo. Afortunadamente, se puede hacer mucha física introductoria con sólo algunas de las técnicas básicas.

Así que sigue con nosotros: la diferenciación realmente es sólo restar y dividir, y la integración realmente es sólo multiplicar y sumar. Sin embargo, esta breve introducción no sustituye a un buen curso de cálculo de bachillerato: tomaremos algunos atajos que los matemáticos pueden desaprobar.